✅ Alternativa correta: lado da base = ∛4 ≈ 1,59 m

(Se aparecer em alternativa, normalmente vem como ∛4 ou aproximadamente 1,6 m.)

🧠 Explicação (comentada)

A questão é de otimização: queremos minimizar a área total de uma caixa sem tampa com volume fixo de 2 m³.

Como a base é quadrada, chamamos:

lado da base = x

altura = h

📌 Volume 𝑥 2 ⋅ ℎ

2 ⇒ ℎ

2 𝑥 2 x 2 ⋅h=2⇒h= x 2 2 ​

📌 Área total (sem tampa)

Área = base + faces laterais

𝐴 ( 𝑥 )

𝑥 2 + 4 𝑥 ℎ A(x)=x 2 +4xh

Substituindo h:

𝐴 ( 𝑥 )

𝑥 2 + 4 𝑥 ⋅ 2 𝑥 2

𝑥 2 + 8 𝑥 A(x)=x 2 +4x⋅ x 2 2 ​

=x 2 + x 8 ​

📌 Minimização (derivada) 𝐴 ′ ( 𝑥 )

2 𝑥 − 8 𝑥 2 A ′ (x)=2x− x 2 8 ​

Igualando a zero:

2 𝑥

8 𝑥 2 2x= x 2 8 ​

2 𝑥 3

8 2x 3 =8 𝑥 3

4 x 3 =4 𝑥

4 3 x= 3 4 ​

🧩 Exemplo prático

📦 Imagine que você vai fabricar caixas gastando material.

❌ Base muito pequena → altura muito grande → mais área lateral ❌ Base muito grande → área da base aumenta

✅ Existe um ponto de equilíbrio → menor gasto de material

➡️ Esse ponto ocorre quando x = ∛4

🧠 Frase de ouro (prova)

Em problemas de caixa com volume fixo, a área mínima ocorre quando a derivada da função área é zero, levando ao valor ótimo da dimensão.