Relembrando o problema:
3
𝑚
+
14400
𝑛
2
,
3m+14400=n
2
,
com
𝑚
,
𝑛
∈
𝑍
+
m,n∈Z
+
, e queremos o resto da divisão de
𝑚
+
𝑛
m+n por 5.
Passo 1: Isolar
𝑚
m:
𝑚
𝑛
2
−
14400
3
.
m=
3
n
2
−14400
.
Para
𝑚
m inteiro,
𝑛
2
−
14400
n
2
−14400 deve ser divisível por 3.
Passo 2: Condição módulo 3
14400
14400 é divisível por 3, pois
1
+
4
+
4
+
0
+
0
9
1+4+4+0+0=9, múltiplo de 3.
Logo,
𝑛
2
≡
0
(
m
o
d
3
)
n
2
≡0(mod3), então
𝑛
n é múltiplo de 3.
Seja
𝑛
3
𝑘
n=3k.
Passo 3: Substituir em
𝑚
m:
3
𝑚
+
14400
(
3
𝑘
)
2
9
𝑘
2
,
3m+14400=(3k)
2
=9k
2
,
3
𝑚
9
𝑘
2
−
14400
,
3m=9k
2
−14400,
𝑚
3
𝑘
2
−
4800.
m=3k
2
−4800.
Passo 4: Soma
𝑚
+
𝑛
m+n:
𝑚
+
𝑛
3
𝑘
2
−
4800
+
3
𝑘
3
𝑘
2
+
3
𝑘
−
4800.
m+n=3k
2
−4800+3k=3k
2
+3k−4800.
Queremos:
(
𝑚
+
𝑛
)
m
o
d
5
(
3
𝑘
2
+
3
𝑘
−
4800
)
m
o
d
5.
(m+n)mod5=(3k
2
+3k−4800)mod5.
Sabemos que
4800
≡
0
(
m
o
d
5
)
4800≡0(mod5), então:
(
𝑚
+
𝑛
)
m
o
d
5
3
(
𝑘
2
+
𝑘
)
m
o
d
5.
(m+n)mod5=3(k
2
+k)mod5.
Passo 5: Simplificar
Queremos o valor de:
3
(
𝑘
2
+
𝑘
)
m
o
d
5
,
3(k
2
+k)mod5,
ou seja,
3
×
[
(
𝑘
2
+
𝑘
)
m
o
d
5
]
m
o
d
5.
3×[(k
2
+k)mod5]mod5.
Passo 6: Calcular
𝑘
2
+
𝑘
m
o
d
5
k
2
+kmod5
Valores de
𝑘
m
o
d
5
kmod5:
𝑘
k
𝑘
2
k
2
𝑘
2
+
𝑘
k
2
+k
(
𝑘
2
+
𝑘
)
m
o
d
5
(k
2
+k)mod5
0 0 0 0
1 1 2 2
2 4 6 1
3 9 12 2
4 16 20 0
Passo 7: Multiplicar por 3 módulo 5
Multiplicamos cada resultado por 3 modulo 5:
(
𝑘
2
+
𝑘
)
m
o
d
5
(k
2
+k)mod5
3
×
(
𝑘
2
+
𝑘
)
m
o
d
5
3×(k
2
+k)mod5
0 0
2
3
×
2
6
≡
1
3×2=6≡1
1 3
2 1
0 0
Passo 8: Verificar
𝑘
k para
𝑚
0
m>0
Como
𝑚
3
𝑘
2
−
4800
0
m=3k
2
−4800>0,
3
𝑘
2
4800
⟹
𝑘
2
1600
⟹
𝑘
3k
2
4800⟹k
2
1600⟹k>40.
Vamos agora analisar
𝑘
m
o
d
5
kmod5 para
𝑘
40
k>40:
41
m
o
d
5
1
⟹
(
𝑚
+
𝑛
)
m
o
d
5
1
41mod5=1⟹(m+n)mod5=1,
42
m
o
d
5
2
⟹
(
𝑚
+
𝑛
)
m
o
d
5
3
42mod5=2⟹(m+n)mod5=3,
43
m
o
d
5
3
⟹
(
𝑚
+
𝑛
)
m
o
d
5
1
43mod5=3⟹(m+n)mod5=1,
44
m
o
d
5
4
⟹
(
𝑚
+
𝑛
)
m
o
d
5
0
44mod5=4⟹(m+n)mod5=0,
45
m
o
d
5
0
⟹
(
𝑚
+
𝑛
)
m
o
d
5
0
45mod5=0⟹(m+n)mod5=0.
Passo 9: Mas
𝑛
3
𝑘
n=3k, e
𝑛
n é múltiplo de 3, então
𝑘
k também é inteiro.
Passo 10:
𝑛
n deve ser inteiro e positivo,
𝑚
m também, e
𝑚
m deve ser natural positivo.
Vamos testar o menor
𝑘
40
k>40 que deixa
𝑚
m natural e positivo e
𝑚
+
𝑛
m+n congruente a qual valor.
Para
𝑘
41
k=41,
𝑚
+
𝑛
≡
1
(
m
o
d
5
)
m+n≡1(mod5).
Para
𝑘
42
k=42,
𝑚
+
𝑛
≡
3
(
m
o
d
5
)
m+n≡3(mod5).
Para
𝑘
43
k=43,
𝑚
+
𝑛
≡
1
(
m
o
d
5
)
m+n≡1(mod5).
Para
𝑘
44
k=44,
𝑚
+
𝑛
≡
0
(
m
o
d
5
)
m+n≡0(mod5).
Para
𝑘
45
k=45,
𝑚
+
𝑛
≡
0
(
m
o
d
5
)
m+n≡0(mod5).
Passo 11: Verificar se
𝑚
m é natural positivo para esses valores
Para
𝑘
41
k=41,
𝑚
3
×
41
2
−
4800
3
×
1681
−
4800
5043
−
4800
243
0
,
m=3×41
2
−4800=3×1681−4800=5043−4800=243>0,
𝑚
m é positivo.
Passo 12: Verificar
𝑛
n:
𝑛
3
𝑘
3
×
41
n=3k=3×41=123.
Passo 13: Agora,
𝑚
+
𝑛
243
+
123
366
m+n=243+123=366.
Restando dividir 366 por 5:
366
÷
5
73
resto
1.
366÷5=73 resto 1.
Passo 14: Mas gabarito indica alternativa E (4).
Será que precisamos considerar alguma outra restrição?
Passo 15: Observação sobre
𝑛
n:
O problema não impõe que
𝑚
m ou
𝑛
n sejam apenas positivos, mas naturais, e que ambos sejam inteiros.
Vamos tentar outro método:
Outra abordagem: Resolver a equação modularmente.
A equação é:
3
𝑚
+
14400
𝑛
2
.
3m+14400=n
2
.
Módulo 5, temos:
3
𝑚
+
14400
≡
𝑛
2
(
m
o
d
5
)
.
3m+14400≡n
2
(mod5).
Como
14400
≡
0
(
m
o
d
5
)
14400≡0(mod5),
3
𝑚
≡
𝑛
2
(
m
o
d
5
)
.
3m≡n
2
(mod5).
Analisando possíveis valores de
𝑛
2
(
m
o
d
5
)
n
2
(mod5):
Quadrados módulo 5 são
0
,
1
,
4
0,1,4 (pois
2
2
4
2
2
=4,
3
2
9
≡
4
3
2
=9≡4,
4
2
16
≡
1
4
2
=16≡1).
Logo,
3
𝑚
≡
𝑛
2
∈
{
0
,
1
,
4
}
(
m
o
d
5
)
.
3m≡n
2
∈{0,1,4}(mod5).
Para cada valor de
𝑛
2
n
2
, encontrar
𝑚
m
o
d
5
mmod5:
Multiplicando ambos os lados por inverso de 3 mod 5 (inverso de 3 mod 5 é 2, pois
3
×
2
6
≡
1
(
m
o
d
5
)
3×2=6≡1(mod5)):
𝑚
≡
2
𝑛
2
(
m
o
d
5
)
.
m≡2n
2
(mod5).
Então:
Se
𝑛
2
≡
0
n
2
≡0, então
𝑚
≡
0
m≡0.
Se
𝑛
2
≡
1
n
2
≡1, então
𝑚
≡
2
m≡2.
Se
𝑛
2
≡
4
n
2
≡4, então
𝑚
≡
3
m≡3 (pois
2
×
4
8
≡
3
2×4=8≡3).
Somando
𝑚
+
𝑛
(
m
o
d
5
)
m+n(mod5):
Vamos testar os possíveis valores de
𝑛
n módulo 5 e calcular
𝑚
m módulo 5 e
𝑚
+
𝑛
m+n módulo 5.
𝑛
n
𝑛
2
(
m
o
d
5
)
n
2
(mod5)
𝑚
2
𝑛
2
(
m
o
d
5
)
m=2n
2
(mod5)
𝑚
+
𝑛
(
m
o
d
5
)
m+n(mod5)
0 0 0 0 + 0 = 0
1 1 2 2 + 1 = 3
2 4 3 3 + 2 = 0
3 4 3 3 + 3 = 1
4 1 2 2 + 4 = 1
Valores possíveis para
𝑚
+
𝑛
(
m
o
d
5
)
m+n(mod5):
{
0
,
1
,
3
}
.
{0,1,3}.
Passo 16: Agora vamos verificar qual desses valores é compatível com a condição de
𝑚
m ser positivo, conforme o problema original.
Retornando ao teste de
𝑘
k (com
𝑛
3
𝑘
n=3k):
Para
𝑘
41
k=41 (
𝑛
123
n=123),
𝑚
+
𝑛
≡
1
m+n≡1.
Para
𝑘
42
k=42,
𝑚
+
𝑛
≡
3
m+n≡3.
Para
𝑘
43
k=43,
𝑚
+
𝑛
≡
1
m+n≡1.
Para
𝑘
44
k=44,
𝑚
+
𝑛
≡
0
m+n≡0.
Para
𝑘
45
k=45,
𝑚
+
𝑛
≡
0
m+n≡0.
Passo 17: Testar o que o problema pede
Sabemos que
𝑚
m e
𝑛
n são naturais positivos, e a resposta é o resto da divisão de
𝑚
+
𝑛
m+n por 5.
O gabarito é a alternativa E (4), que corresponde ao resto 4.
Isso só pode acontecer se houver algum valor
𝑚
+
𝑛
≡
4
(
m
o
d
5
)
m+n≡4(mod5).
Passo 18: Conclusão
Parece que a questão tem alguma inconsistência ou que o gabarito está baseado numa análise mais profunda ou em um valor específico de
𝑛
n que satisfaça a equação.
