Relembrando o problema: 3 𝑚 + 14400

𝑛 2 , 3m+14400=n 2 , com 𝑚 , 𝑛 ∈ 𝑍 + m,n∈Z + , e queremos o resto da divisão de 𝑚 + 𝑛 m+n por 5.

Passo 1: Isolar 𝑚 m: 𝑚

𝑛 2 − 14400 3 . m= 3 n 2 −14400 ​ . Para 𝑚 m inteiro, 𝑛 2 − 14400 n 2 −14400 deve ser divisível por 3.

Passo 2: Condição módulo 3 14400 14400 é divisível por 3, pois 1 + 4 + 4 + 0 + 0

9 1+4+4+0+0=9, múltiplo de 3.

Logo, 𝑛 2 ≡ 0 ( m o d 3 ) n 2 ≡0(mod3), então 𝑛 n é múltiplo de 3.

Seja 𝑛

3 𝑘 n=3k.

Passo 3: Substituir em 𝑚 m: 3 𝑚 + 14400

( 3 𝑘 ) 2

9 𝑘 2 , 3m+14400=(3k) 2 =9k 2 , 3 𝑚

9 𝑘 2 − 14400 , 3m=9k 2 −14400, 𝑚

3 𝑘 2 − 4800. m=3k 2 −4800. Passo 4: Soma 𝑚 + 𝑛 m+n: 𝑚 + 𝑛

3 𝑘 2 − 4800 + 3 𝑘

3 𝑘 2 + 3 𝑘 − 4800. m+n=3k 2 −4800+3k=3k 2 +3k−4800. Queremos:

( 𝑚 + 𝑛 )   m o d   5

( 3 𝑘 2 + 3 𝑘 − 4800 )   m o d   5. (m+n)mod5=(3k 2 +3k−4800)mod5. Sabemos que 4800 ≡ 0 ( m o d 5 ) 4800≡0(mod5), então:

( 𝑚 + 𝑛 )   m o d   5

3 ( 𝑘 2 + 𝑘 )   m o d   5. (m+n)mod5=3(k 2 +k)mod5. Passo 5: Simplificar Queremos o valor de:

3 ( 𝑘 2 + 𝑘 )   m o d   5 , 3(k 2 +k)mod5, ou seja,

3 × [ ( 𝑘 2 + 𝑘 )   m o d   5 ]   m o d   5. 3×[(k 2 +k)mod5]mod5. Passo 6: Calcular 𝑘 2 + 𝑘   m o d   5 k 2 +kmod5 Valores de 𝑘   m o d   5 kmod5:

𝑘 k 𝑘 2 k 2

𝑘 2 + 𝑘 k 2 +k ( 𝑘 2 + 𝑘 )   m o d   5 (k 2 +k)mod5 0 0 0 0 1 1 2 2 2 4 6 1 3 9 12 2 4 16 20 0

Passo 7: Multiplicar por 3 módulo 5 Multiplicamos cada resultado por 3 modulo 5:

( 𝑘 2 + 𝑘 )   m o d   5 (k 2 +k)mod5 3 × ( 𝑘 2 + 𝑘 )   m o d   5 3×(k 2 +k)mod5 0 0 2 3 × 2

6 ≡ 1 3×2=6≡1 1 3 2 1 0 0

Passo 8: Verificar 𝑘 k para 𝑚

0 m>0 Como 𝑚

3 𝑘 2 − 4800

0 m=3k 2 −4800>0,

3 𝑘 2

4800    ⟹    𝑘 2

1600    ⟹    𝑘

3k 2

4800⟹k 2 1600⟹k>40. Vamos agora analisar 𝑘   m o d   5 kmod5 para 𝑘

40 k>40:

41   m o d   5

1    ⟹    ( 𝑚 + 𝑛 )   m o d   5

1 41mod5=1⟹(m+n)mod5=1,

42   m o d   5

2    ⟹    ( 𝑚 + 𝑛 )   m o d   5

3 42mod5=2⟹(m+n)mod5=3,

43   m o d   5

3    ⟹    ( 𝑚 + 𝑛 )   m o d   5

1 43mod5=3⟹(m+n)mod5=1,

44   m o d   5

4    ⟹    ( 𝑚 + 𝑛 )   m o d   5

0 44mod5=4⟹(m+n)mod5=0,

45   m o d   5

0    ⟹    ( 𝑚 + 𝑛 )   m o d   5

0 45mod5=0⟹(m+n)mod5=0.

Passo 9: Mas 𝑛

3 𝑘 n=3k, e 𝑛 n é múltiplo de 3, então 𝑘 k também é inteiro. Passo 10: 𝑛 n deve ser inteiro e positivo, 𝑚 m também, e 𝑚 m deve ser natural positivo. Vamos testar o menor 𝑘

40 k>40 que deixa 𝑚 m natural e positivo e 𝑚 + 𝑛 m+n congruente a qual valor.

Para 𝑘

41 k=41, 𝑚 + 𝑛 ≡ 1 ( m o d 5 ) m+n≡1(mod5).

Para 𝑘

42 k=42, 𝑚 + 𝑛 ≡ 3 ( m o d 5 ) m+n≡3(mod5).

Para 𝑘

43 k=43, 𝑚 + 𝑛 ≡ 1 ( m o d 5 ) m+n≡1(mod5).

Para 𝑘

44 k=44, 𝑚 + 𝑛 ≡ 0 ( m o d 5 ) m+n≡0(mod5).

Para 𝑘

45 k=45, 𝑚 + 𝑛 ≡ 0 ( m o d 5 ) m+n≡0(mod5).

Passo 11: Verificar se 𝑚 m é natural positivo para esses valores Para 𝑘

41 k=41,

𝑚

3 × 41 2 − 4800

3 × 1681 − 4800

5043 − 4800

243

0 , m=3×41 2 −4800=3×1681−4800=5043−4800=243>0, 𝑚 m é positivo.

Passo 12: Verificar 𝑛 n: 𝑛

3 𝑘

3 × 41

n=3k=3×41=123. Passo 13: Agora, 𝑚 + 𝑛

243 + 123

366 m+n=243+123=366. Restando dividir 366 por 5:

366 ÷ 5

73  resto  1. 366÷5=73 resto 1. Passo 14: Mas gabarito indica alternativa E (4). Será que precisamos considerar alguma outra restrição?

Passo 15: Observação sobre 𝑛 n: O problema não impõe que 𝑚 m ou 𝑛 n sejam apenas positivos, mas naturais, e que ambos sejam inteiros.

Vamos tentar outro método:

Outra abordagem: Resolver a equação modularmente. A equação é:

3 𝑚 + 14400

𝑛 2 . 3m+14400=n 2 . Módulo 5, temos:

3 𝑚 + 14400 ≡ 𝑛 2 ( m o d 5 ) . 3m+14400≡n 2 (mod5). Como 14400 ≡ 0 ( m o d 5 ) 14400≡0(mod5),

3 𝑚 ≡ 𝑛 2 ( m o d 5 ) . 3m≡n 2 (mod5). Analisando possíveis valores de 𝑛 2 ( m o d 5 ) n 2 (mod5): Quadrados módulo 5 são 0 , 1 , 4 0,1,4 (pois 2 2

4 2 2 =4, 3 2

9 ≡ 4 3 2 =9≡4, 4 2

16 ≡ 1 4 2 =16≡1).

Logo,

3 𝑚 ≡ 𝑛 2 ∈ { 0 , 1 , 4 } ( m o d 5 ) . 3m≡n 2 ∈{0,1,4}(mod5). Para cada valor de 𝑛 2 n 2 , encontrar 𝑚   m o d   5 mmod5: Multiplicando ambos os lados por inverso de 3 mod 5 (inverso de 3 mod 5 é 2, pois 3 × 2

6 ≡ 1 ( m o d 5 ) 3×2=6≡1(mod5)):

𝑚 ≡ 2 𝑛 2 ( m o d 5 ) . m≡2n 2 (mod5). Então:

Se 𝑛 2 ≡ 0 n 2 ≡0, então 𝑚 ≡ 0 m≡0.

Se 𝑛 2 ≡ 1 n 2 ≡1, então 𝑚 ≡ 2 m≡2.

Se 𝑛 2 ≡ 4 n 2 ≡4, então 𝑚 ≡ 3 m≡3 (pois 2 × 4

8 ≡ 3 2×4=8≡3).

Somando 𝑚 + 𝑛 ( m o d 5 ) m+n(mod5): Vamos testar os possíveis valores de 𝑛 n módulo 5 e calcular 𝑚 m módulo 5 e 𝑚 + 𝑛 m+n módulo 5.

𝑛 n 𝑛 2 ( m o d 5 ) n 2 (mod5) 𝑚

2 𝑛 2 ( m o d 5 ) m=2n 2 (mod5) 𝑚 + 𝑛 ( m o d 5 ) m+n(mod5) 0 0 0 0 + 0 = 0 1 1 2 2 + 1 = 3 2 4 3 3 + 2 = 0 3 4 3 3 + 3 = 1 4 1 2 2 + 4 = 1

Valores possíveis para 𝑚 + 𝑛 ( m o d 5 ) m+n(mod5): { 0 , 1 , 3 } . {0,1,3}. Passo 16: Agora vamos verificar qual desses valores é compatível com a condição de 𝑚 m ser positivo, conforme o problema original. Retornando ao teste de 𝑘 k (com 𝑛

3 𝑘 n=3k):

Para 𝑘

41 k=41 ( 𝑛

123 n=123), 𝑚 + 𝑛 ≡ 1 m+n≡1.

Para 𝑘

42 k=42, 𝑚 + 𝑛 ≡ 3 m+n≡3.

Para 𝑘

43 k=43, 𝑚 + 𝑛 ≡ 1 m+n≡1.

Para 𝑘

44 k=44, 𝑚 + 𝑛 ≡ 0 m+n≡0.

Para 𝑘

45 k=45, 𝑚 + 𝑛 ≡ 0 m+n≡0.

Passo 17: Testar o que o problema pede Sabemos que 𝑚 m e 𝑛 n são naturais positivos, e a resposta é o resto da divisão de 𝑚 + 𝑛 m+n por 5.

O gabarito é a alternativa E (4), que corresponde ao resto 4.

Isso só pode acontecer se houver algum valor 𝑚 + 𝑛 ≡ 4 ( m o d 5 ) m+n≡4(mod5).

Passo 18: Conclusão Parece que a questão tem alguma inconsistência ou que o gabarito está baseado numa análise mais profunda ou em um valor específico de 𝑛 n que satisfaça a equação.