Para encontrar o ponto simétrico de
𝑃
(
1
,
5
)
P=(1,5) em relação à reta
2
𝑥
+
3
𝑦
−
4
0
2x+3y−4=0, seguimos o passo a passo:
Passo 1: Equação da reta
2
𝑥
+
3
𝑦
−
4
0
2x+3y−4=0
Passo 2: Encontrar a equação da reta perpendicular à dada que passa por
𝑃
P
A reta dada tem coeficiente angular
𝑚
−
𝐴
𝐵
−
2
3
m=−
B
A
=−
3
2
.
A reta perpendicular terá coeficiente angular:
𝑚
⊥
3
2
m
⊥
2
3
Equação da reta perpendicular passando por
(
1
,
5
)
(1,5):
𝑦
−
5
3
2
(
𝑥
−
1
)
y−5=
2
3
(x−1)
𝑦
3
2
𝑥
−
3
2
+
5
3
2
𝑥
+
7
2
y=
2
3
x−
2
3
+5=
2
3
x+
2
7
Passo 3: Encontrar o ponto
𝑄
Q, a projeção de
𝑃
P sobre a reta dada (ponto de interseção)
Resolver o sistema:
{
2
𝑥
+
3
𝑦
−
4
0
𝑦
3
2
𝑥
+
7
2
{
2x+3y−4=0
y=
2
3
x+
2
7
Substituindo
𝑦
y:
2
𝑥
+
3
(
3
2
𝑥
+
7
2
)
−
4
0
2x+3(
2
3
x+
2
7
)−4=0
2
𝑥
+
9
2
𝑥
+
21
2
−
4
0
2x+
2
9
x+
2
21
−4=0
Multiplicar tudo por 2 para eliminar denominadores:
4
𝑥
+
9
𝑥
+
21
−
8
0
4x+9x+21−8=0
13
𝑥
+
13
0
13x+13=0
13
𝑥
−
13
⟹
𝑥
−
1
13x=−13⟹x=−1
Substituir em
𝑦
y:
𝑦
3
2
(
−
1
)
+
7
2
−
3
2
+
7
2
4
2
2
y=
2
3
(−1)+
2
7
=−
2
3
+
2
7
2
4
=2
Passo 4: Encontrar o ponto simétrico
𝑃
′
P
′
𝑄
(
−
1
,
2
)
Q=(−1,2) é o ponto médio entre
𝑃
(
1
,
5
)
P=(1,5) e
𝑃
′
(
𝑥
′
,
𝑦
′
)
P
′
=(x
′
,y
′
):
1
+
𝑥
′
2
−
1
⟹
1
+
𝑥
′
−
2
⟹
𝑥
′
−
3
2
1+x
′
=−1⟹1+x
′
=−2⟹x
′
=−3
5
+
𝑦
′
2
2
⟹
5
+
𝑦
′
4
⟹
𝑦
′
−
1
2
5+y
′
=2⟹5+y
′
=4⟹y
′
=−1
Resposta:
𝑃
′
(
−
3
,
−
1
)
P
′
=(−3,−1)
Alternativa correta: (a) (-3, -1)
