Para encontrar o ponto simétrico de 𝑃

( 1 , 5 ) P=(1,5) em relação à reta 2 𝑥 + 3 𝑦 − 4

0 2x+3y−4=0, seguimos o passo a passo:

Passo 1: Equação da reta 2 𝑥 + 3 𝑦 − 4

0 2x+3y−4=0 Passo 2: Encontrar a equação da reta perpendicular à dada que passa por 𝑃 P A reta dada tem coeficiente angular 𝑚

− 𝐴 𝐵

− 2 3 m=− B A ​ =− 3 2 ​ .

A reta perpendicular terá coeficiente angular:

𝑚 ⊥

3 2 m ⊥ ​

2 3 ​

Equação da reta perpendicular passando por ( 1 , 5 ) (1,5):

𝑦 − 5

3 2 ( 𝑥 − 1 ) y−5= 2 3 ​ (x−1) 𝑦

3 2 𝑥 − 3 2 + 5

3 2 𝑥 + 7 2 y= 2 3 ​ x− 2 3 ​ +5= 2 3 ​ x+ 2 7 ​

Passo 3: Encontrar o ponto 𝑄 Q, a projeção de 𝑃 P sobre a reta dada (ponto de interseção) Resolver o sistema:

{ 2 𝑥 + 3 𝑦 − 4

0 𝑦

3 2 𝑥 + 7 2 { 2x+3y−4=0 y= 2 3 ​ x+ 2 7 ​

​

Substituindo 𝑦 y:

2 𝑥 + 3 ( 3 2 𝑥 + 7 2 ) − 4

0 2x+3( 2 3 ​ x+ 2 7 ​ )−4=0 2 𝑥 + 9 2 𝑥 + 21 2 − 4

0 2x+ 2 9 ​ x+ 2 21 ​ −4=0 Multiplicar tudo por 2 para eliminar denominadores:

4 𝑥 + 9 𝑥 + 21 − 8

0 4x+9x+21−8=0 13 𝑥 + 13

0 13x+13=0 13 𝑥

− 13    ⟹    𝑥

− 1 13x=−13⟹x=−1 Substituir em 𝑦 y:

𝑦

3 2 ( − 1 ) + 7 2

− 3 2 + 7 2

4 2

2 y= 2 3 ​ (−1)+ 2 7 ​ =− 2 3 ​ + 2 7 ​

2 4 ​ =2 Passo 4: Encontrar o ponto simétrico 𝑃 ′ P ′

𝑄

( − 1 , 2 ) Q=(−1,2) é o ponto médio entre 𝑃

( 1 , 5 ) P=(1,5) e 𝑃 ′

( 𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) P ′ =(x ′ ,y ′ ):

1 + 𝑥 ′ 2

− 1    ⟹    1 + 𝑥 ′

− 2    ⟹    𝑥 ′

− 3 2 1+x ′

​ =−1⟹1+x ′ =−2⟹x ′ =−3 5 + 𝑦 ′ 2

2    ⟹    5 + 𝑦 ′

4    ⟹    𝑦 ′

− 1 2 5+y ′

​ =2⟹5+y ′ =4⟹y ′ =−1 Resposta: 𝑃 ′

( − 3 , − 1 ) P ′ =(−3,−1) Alternativa correta: (a) (-3, -1)