Vamos resolver o problema passo a passo.
Dados:
𝑥
x é um número natural maior que 2.
O número
𝑁
N tem representação
1041
1041 na base
𝑥
x.
O mesmo número
𝑁
N tem representação
1431
1431 na base
𝑥
−
1
x−1.
Queremos encontrar a representação de
𝑁
N na base binária.
Passo 1: Expressar
𝑁
N nas bases dadas
Na base
𝑥
x, o número
𝑁
N vale:
𝑁
1
⋅
𝑥
3
+
0
⋅
𝑥
2
+
4
⋅
𝑥
+
1
𝑥
3
+
4
𝑥
+
1
N=1⋅x
3
+0⋅x
2
+4⋅x+1=x
3
+4x+1
Na base
𝑥
−
1
x−1, o número
𝑁
N vale:
𝑁
1
⋅
(
𝑥
−
1
)
3
+
4
⋅
(
𝑥
−
1
)
2
+
3
⋅
(
𝑥
−
1
)
+
1
N=1⋅(x−1)
3
+4⋅(x−1)
2
+3⋅(x−1)+1
Passo 2: Expandir a expressão na base
𝑥
−
1
x−1
𝑁
(
𝑥
−
1
)
3
+
4
(
𝑥
−
1
)
2
+
3
(
𝑥
−
1
)
+
1
N=(x−1)
3
+4(x−1)
2
+3(x−1)+1
Calcular cada termo:
(
𝑥
−
1
)
3
𝑥
3
−
3
𝑥
2
+
3
𝑥
−
1
(x−1)
3
=x
3
−3x
2
+3x−1
(
𝑥
−
1
)
2
𝑥
2
−
2
𝑥
+
1
(x−1)
2
=x
2
−2x+1
Logo:
𝑁
(
𝑥
3
−
3
𝑥
2
+
3
𝑥
−
1
)
+
4
(
𝑥
2
−
2
𝑥
+
1
)
+
3
(
𝑥
−
1
)
+
1
N=(x
3
−3x
2
+3x−1)+4(x
2
−2x+1)+3(x−1)+1
Expandindo:
=
𝑥
3
−
3
𝑥
2
+
3
𝑥
−
1
+
4
𝑥
2
−
8
𝑥
+
4
+
3
𝑥
−
3
+
1
=x
3
−3x
2
+3x−1+4x
2
−8x+4+3x−3+1
Somando os termos semelhantes:
𝑥
3
x
3
(
−
3
𝑥
2
+
4
𝑥
2
)
𝑥
2
(−3x
2
+4x
2
)=x
2
(
3
𝑥
−
8
𝑥
+
3
𝑥
)
(
−
2
𝑥
)
(3x−8x+3x)=(−2x)
(
−
1
+
4
−
3
+
1
)
1
(−1+4−3+1)=1
Portanto:
𝑁
𝑥
3
+
𝑥
2
−
2
𝑥
+
1
N=x
3
+x
2
−2x+1
Passo 3: Igualar as duas expressões para
𝑁
N
𝑥
3
+
4
𝑥
+
1
𝑥
3
+
𝑥
2
−
2
𝑥
+
1
x
3
+4x+1=x
3
+x
2
−2x+1
Simplificando:
4
𝑥
𝑥
2
−
2
𝑥
4x=x
2
−2x
Passando todos os termos para o mesmo lado:
0
𝑥
2
−
2
𝑥
−
4
𝑥
0=x
2
−2x−4x
0
𝑥
2
−
6
𝑥
0=x
2
−6x
𝑥
2
−
6
𝑥
0
x
2
−6x=0
𝑥
(
𝑥
−
6
)
0
x(x−6)=0
Como
𝑥
2
x>2, então:
𝑥
6
x=6
Passo 4: Calcular
𝑁
N
Substituindo
𝑥
6
x=6 em
𝑁
𝑥
3
+
4
𝑥
+
1
N=x
3
+4x+1:
𝑁
6
3
+
4
⋅
6
+
1
216
+
24
+
1
241
N=6
3
+4⋅6+1=216+24+1=241
Passo 5: Converter
𝑁
241
N=241 para base binária
Vamos converter 241 para binário:
241 ÷ 2 = 120 resto 1
120 ÷ 2 = 60 resto 0
60 ÷ 2 = 30 resto 0
30 ÷ 2 = 15 resto 0
15 ÷ 2 = 7 resto 1
7 ÷ 2 = 3 resto 1
3 ÷ 2 = 1 resto 1
1 ÷ 2 = 0 resto 1
Lendo os restos de baixo para cima:
241
10
11110001
2
241
10
=11110001
2
Resposta correta:
e) 1 1 1 1 0 0 0 1
