1️⃣ Alternativa correta

Alternativa correta: LETRA E

2️⃣ 🧠 Explicação (comentada)

Temos a função densidade:

𝑓 ( 𝑥 )

𝑎 𝑥 3 ( 1 − 𝑥 ) , 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 f(x)=ax 3 (1−x),0≤x≤1

Para ser uma função densidade de probabilidade, deve satisfazer:

∫ 0 1 𝑓 ( 𝑥 )   𝑑 𝑥

1 ∫ 0 1 ​

f(x)dx=1

Substituindo:

∫ 0 1 𝑎 𝑥 3 ( 1 − 𝑥 )   𝑑 𝑥

1 ∫ 0 1 ​

ax 3 (1−x)dx=1

Colocamos o a em evidência:

𝑎 ∫ 0 1 𝑥 3 ( 1 − 𝑥 )   𝑑 𝑥

1 a∫ 0 1 ​

x 3 (1−x)dx=1

Expandindo:

𝑥 3 ( 1 − 𝑥 )

𝑥 3 − 𝑥 4 x 3 (1−x)=x 3 −x 4

Então:

𝑎 ∫ 0 1 ( 𝑥 3 − 𝑥 4 )   𝑑 𝑥

1 a∫ 0 1 ​

(x 3 −x 4 )dx=1

Integrando:

∫ 𝑥 3 𝑑 𝑥

𝑥 4 4 ∫x 3 dx= 4 x 4 ​

∫ 𝑥 4 𝑑 𝑥

𝑥 5 5 ∫x 4 dx= 5 x 5 ​

Aplicando de 0 a 1:

( 1 4 − 1 5 ) ( 4 1 ​

− 5 1 ​

)

MMC = 20:

5 − 4 20

1 20 20 5−4 ​

= 20 1 ​

Logo:

𝑎 ⋅ 1 20

1 a⋅ 20 1 ​

=1 𝑎

20 a=20 3️⃣ 📌 Subdivisão conceitual

📌 1️⃣ Condição de densidade A integral no intervalo deve ser igual a 1.

📌 2️⃣ Estratégia de prova Sempre:

Integre no intervalo dado

Igual a 1

Resolva para a constante

⚠️ Pegadinha: esquecer de integrar no intervalo completo.

4️⃣ 🧩 Exemplo prático

🏛️ Situação prática

A proporção de álcool varia entre 0 e 1.

Para representar uma distribuição válida:

❌ Não pode ter integral diferente de 1. ❌ Não pode ser negativa no intervalo. ✅ Ajustamos a constante a para “normalizar” a curva.

➡️ Conclusão: o fator de normalização é 20.

5️⃣ ⚠️ Por que as outras alternativas estão erradas

A ❌ Densidade não pode ser negativa. B ❌ Integral seria 0 (não é distribuição válida). C ❌ Integral daria 1/20, não 1. D ❌ Valor inverso incorreto.

6️⃣ 🧠 Frase de ouro (prova)

Frase de ouro:

Para achar a constante de uma densidade, integre no intervalo e iguale a 1