Vamos resolver passo a passo.
1. Definindo a PA
Seja a PA crescente com três termos:
[
a_1, a_2, a_3
]
Como é uma PA:
[
a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = r
]
Logo:
[
a_2 = a_1 + r, \quad a_3 = a_1 + 2r
]
Soma dos termos = 30:
[
a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + (a_1+r) + (a_1+2r) = 3a_1 + 3r = 30
]
[
a_1 + r = 10 \quad \Rightarrow \quad r = 10 - a_1
]
2. Criando a PG
O problema diz:
- Mantendo o segundo termo (a_2)
- Primeiro termo da PG = (a_1 + 2)
- Terceiro termo da PG = (a_3 + 3)
Seja a PG:
[
b_1 = a_1 + 2, \quad b_2 = a_2, \quad b_3 = a_3 + 3
]
Condição de PG:
[
b_2^2 = b_1 \cdot b_3
]
Substituindo:
[
(a_1 + r)^2 = (a_1 + 2) \cdot (a_1 + 2r + 3)
]
Sabemos que (r = 10 - a_1), então:
[
(a_1 + (10 - a_1))^2 = (a_1 + 2) \cdot (a_1 + 2(10 - a_1) + 3)
]
[
10^2 = (a_1 + 2) \cdot (a_1 + 20 - 2a_1 + 3)
]
[
100 = (a_1 + 2) \cdot (25 - a_1)
]
3. Resolvendo a equação:
[
(a_1 + 2)(25 - a_1) = 100
]
[
25a_1 - a_1^2 + 50 - 2a_1 = 100
]
[
- a_1^2 + 23a_1 + 50 = 100
]
[
- a_1^2 + 23a_1 - 50 = 0
]
Multiplicando por -1:
[
a_1^2 - 23a_1 + 50 = 0
]
Fórmula de Bhaskara:
[
a_1 = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 200}}{2} = \frac{23 \pm \sqrt{329}}{2}
]
(\sqrt{329} \approx 18.14)
- (a_1 \approx \frac{23 + 18.14}{2} = \frac{41.14}{2} \approx 20.57)
- (a_1 \approx \frac{23 - 18.14}{2} = \frac{4.86}{2} \approx 2.43)
Como a PA é crescente, escolhemos (a_1 = 2.43)
4. Somando o 1º termo da PA com o 3º termo da PG
- (a_1 \approx 2.43)
- (b_3 = a_3 + 3 = (a_1 + 2r) + 3 = 2.43 + 2*(10-2.43) + 3)
[
r = 10 - 2.43 = 7.57
]
[
b_3 = 2.43 + 2*7.57 + 3 = 2.43 + 15.14 + 3 = 20.57
]
Soma:
[
a_1 + b_3 = 2.43 + 20.57 = 23
]
✅ Resposta correta:
e) 23
