Questões comentadas Prefeitura de Biguaçu-SC de Matérias Diversas | 192727

Vamos resolver passo a passo.

1. Definindo a PA

Seja a PA crescente com três termos: [ a_1, a_2, a_3 ]

Como é uma PA: [ a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = r ] Logo: [ a_2 = a_1 + r, \quad a_3 = a_1 + 2r ]

Soma dos termos = 30: [ a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + (a_1+r) + (a_1+2r) = 3a_1 + 3r = 30 ] [ a_1 + r = 10 \quad \Rightarrow \quad r = 10 - a_1 ]

2. Criando a PG

O problema diz:

• Mantendo o segundo termo (a_2)
• Primeiro termo da PG = (a_1 + 2)
• Terceiro termo da PG = (a_3 + 3)

Seja a PG: [ b_1 = a_1 + 2, \quad b_2 = a_2, \quad b_3 = a_3 + 3 ]

Condição de PG: [ b_2^2 = b_1 \cdot b_3 ]

Substituindo: [ (a_1 + r)^2 = (a_1 + 2) \cdot (a_1 + 2r + 3) ]

Sabemos que (r = 10 - a_1), então: [ (a_1 + (10 - a_1))^2 = (a_1 + 2) \cdot (a_1 + 2(10 - a_1) + 3) ] [ 10^2 = (a_1 + 2) \cdot (a_1 + 20 - 2a_1 + 3) ] [ 100 = (a_1 + 2) \cdot (25 - a_1) ]

3. Resolvendo a equação: [ (a_1 + 2)(25 - a_1) = 100 ] [ 25a_1 - a_1^2 + 50 - 2a_1 = 100 ] [

• a_1^2 + 23a_1 + 50 = 100 ] [
• a_1^2 + 23a_1 - 50 = 0 ] Multiplicando por -1: [ a_1^2 - 23a_1 + 50 = 0 ]

Fórmula de Bhaskara: [ a_1 = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 200}}{2} = \frac{23 \pm \sqrt{329}}{2} ]

(\sqrt{329} \approx 18.14)

• (a_1 \approx \frac{23 + 18.14}{2} = \frac{41.14}{2} \approx 20.57)
• (a_1 \approx \frac{23 - 18.14}{2} = \frac{4.86}{2} \approx 2.43)

Como a PA é crescente, escolhemos (a_1 = 2.43)

4. Somando o 1º termo da PA com o 3º termo da PG

• (a_1 \approx 2.43)
• (b_3 = a_3 + 3 = (a_1 + 2r) + 3 = 2.43 + 2*(10-2.43) + 3) [ r = 10 - 2.43 = 7.57 ] [ b_3 = 2.43 + 2*7.57 + 3 = 2.43 + 15.14 + 3 = 20.57 ]

Soma: [ a_1 + b_3 = 2.43 + 20.57 = 23 ]

✅ Resposta correta:

e) 23