Vamos resolver passo a passo.

Dados:

Triângulo retângulo com catetos 𝑎 a e 𝑏 b, hipotenusa 𝑐 c

Soma das projeções dos catetos sobre a hipotenusa = 10 cm

Um dos catetos mede 6 cm

Queremos o valor do outro cateto.

Passo 1: Projeções dos catetos sobre a hipotenusa

As projeções dos catetos 𝑎 a e 𝑏 b sobre a hipotenusa 𝑐 c são dadas por:

proje c ¸ a ˜ o do cateto  𝑎

𝑎 2 𝑐 proje c ¸ ​

a ˜ o do cateto a= c a 2 ​

proje c ¸ a ˜ o do cateto  𝑏

𝑏 2 𝑐 proje c ¸ ​

a ˜ o do cateto b= c b 2 ​

Passo 2: Usar a soma das projeções 𝑎 2 𝑐 + 𝑏 2 𝑐

10 c a 2 ​

c b 2 ​

=10

Multiplicando ambos os lados por 𝑐 c:

𝑎 2 + 𝑏 2

10 𝑐 a 2 +b 2 =10c Passo 3: Relação do triângulo retângulo

Pelo Teorema de Pitágoras:

𝑎 2 + 𝑏 2

𝑐 2 a 2 +b 2 =c 2 Passo 4: Substituir na equação da soma das projeções

Da etapa 2 e 3:

𝑐 2

10 𝑐 c 2 =10c 𝑐 2 − 10 𝑐

0 c 2 −10c=0 𝑐 ( 𝑐 − 10 )

0 c(c−10)=0

Como hipotenusa é positiva:

𝑐

10 c=10 Passo 5: Calcular o outro cateto

Sabemos que:

𝑎

6 , 𝑐

10 a=6,c=10

Pelo Teorema de Pitágoras:

6 2 + 𝑏 2

10 2 6 2 +b 2 =10 2 36 + 𝑏 2

100 36+b 2 =100 𝑏 2

100 − 36

64 b 2 =100−36=64 𝑏

64

8 b= 64 ​

=8 Resposta correta:

d) 8