Vamos resolver passo a passo para não cometer erros.
Dados:
- Oferta: (q_1(p) = 2p - 1)
- Demanda: (q_2(p) = \frac{6}{p})
Queremos a elasticidade-preço da demanda no ponto de equilíbrio.
1️⃣ Encontrar o preço de equilíbrio
No equilíbrio, quantidade ofertada = quantidade demandada:
[
q_1(p) = q_2(p)
]
[
2p - 1 = \frac{6}{p}
]
Multiplicando ambos os lados por (p):
[
2p^2 - p = 6
]
[
2p^2 - p - 6 = 0
]
2️⃣ Resolver a equação quadrática
[
p = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2}
]
[
p = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{1 \pm 7}{4}
]
- Solução positiva: (p = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2)
- Solução negativa: (p = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -1,5) (não faz sentido)
✅ Preço de equilíbrio: (p^* = 2)
3️⃣ Quantidade de equilíbrio
[
q^* = q_1(2) = 2 \cdot 2 - 1 = 3
]
[
q^* = q_2(2) = 6/2 = 3 \quad \text{confirma!}
]
4️⃣ Elasticidade-preço da demanda
A elasticidade-preço da demanda é dada por:
[
E_d = \frac{dq}{dp} \cdot \frac{p}{q}
]
Para a demanda (q_2(p) = 6/p):
[
\frac{dq_2}{dp} = \frac{d}{dp}\left(\frac{6}{p}\right) = -\frac{6}{p^2}
]
No ponto de equilíbrio (p = 2), (q = 3):
[
E_d = \left(-\frac{6}{2^2}\right) \cdot \frac{2}{3} = \left(-\frac{6}{4}\right) \cdot \frac{2}{3} = (-1,5) \cdot \frac{2}{3} = -1,0
]
✅ 5️⃣ Conclusão
A elasticidade-preço da demanda no ponto de equilíbrio é:
[
\boxed{-1,00}
]
Resposta correta: b) -1,00
