Vamos resolver passo a passo usando Valor Presente Líquido (VPL) simplificado, considerando que os fluxos de caixa são anuais e constantes.
Dados:
- Investimento inicial: (I_0 = R$750.000)
- Economia anual: (F = R$200.000)
- Taxa de retorno (desconto): (i = 10% = 0,1)
Queremos o número de anos (n) necessário para que o investimento seja recuperado no valor presente.
1️⃣ Fórmula do Valor Presente de uma anuidade
O VPL de uma anuidade de n anos é:
[
VP = F \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}
]
O investimento é recuperado quando (VP = I_0):
[
I_0 = F \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}
]
Substituindo os valores:
[
750.000 = 200.000 \cdot \frac{1 - (1+0,1)^{-n}}{0,1}
]
[
750.000 = 200.000 \cdot 10 \cdot \left[1 - (1,1)^{-n}\right]
]
[
750.000 = 2.000.000 \cdot \left[1 - (1,1)^{-n}\right]
]
[
1 - (1,1)^{-n} = \frac{750.000}{2.000.000} = 0,375
]
[
(1,1)^{-n} = 1 - 0,375 = 0,625
]
2️⃣ Resolver para (n)
[
(1,1)^{-n} = 0,625
]
Tomando logaritmo natural:
[
-n \cdot \ln(1,1) = \ln(0,625)
]
[
-n \cdot 0,09531 \approx -0,4700
]
[
n \approx \frac{0,4700}{0,09531} \approx 4,93
]
✅ 3️⃣ Conclusão
O investimento será recuperado em aproximadamente 5 anos.
Resposta correta: d) 5
