Vamos resolver passo a passo.
1️⃣ Dados do problema
-
Densidade linear da corda:
(\mu = 4,0 \times 10^{-5}\ \text{kg/m})
-
Frequência fundamental (afinação em SOL):
(f_{sol} = 392\ \text{Hz})
-
Frequência com a corda pressionada 10 cm da extremidade:
(f_{LÁ} = 440\ \text{Hz})
-
Quando pressiona 10 cm, o comprimento da corda vibrante diminui.
2️⃣ Relação entre frequência, tração e comprimento
A frequência fundamental de uma corda é:
[
f = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}
]
onde:
- (f) = frequência,
- (L) = comprimento da parte vibrante,
- (T) = tração na corda,
- (\mu) = densidade linear.
3️⃣ Corda original (afinada em SOL)
[
f_{sol} = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T_{sol}}{\mu}}
]
4️⃣ Corda pressionada (mesma tração, mas comprimento menor)
[
f_{LÁ} = \frac{1}{2(L - 0,10)}\sqrt{\frac{T_{sol}}{\mu}}
]
5️⃣ Dividindo uma pela outra
[
\frac{f_{LÁ}}{f_{sol}} = \frac{L}{L - 0,10}
]
[
\frac{440}{392} = \frac{L}{L - 0,10}
]
6️⃣ Resolvendo para (L)
[
1,1224 = \frac{L}{L - 0,10}
]
[
L - 0,10 = \frac{L}{1,1224}
]
[
L - \frac{L}{1,1224} = 0,10
]
[
L \left(1 - \frac{1}{1,1224}\right) = 0,10
]
[
L (1 - 0,891) = 0,10
]
[
L (0,109) = 0,10
]
[
L = \frac{0,10}{0,109} \approx 0,917\ \text{m}
]
7️⃣ Agora, nova corda afinada em LÁ (440 Hz)
Para a corda inteira (L = 0,917 m), queremos:
[
f = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}
]
[
T = (2Lf)^2 \mu
]
Substituímos os valores:
[
T = [2(0,917)(440)]^2 (4,0 \times 10^{-5})
]
8️⃣ Calculando passo a passo
- (2 \times 0,917 \times 440 = 806,96)
- (806,96^2 = 651,200)
- (651,200 \times 4,0 \times 10^{-5} = 26,05\ \text{N})
✅ Resposta final:
[
\boxed{T \approx 26\ \text{N}}
]
Alternativa correta:
d) 26 N
