A amplitude do movimento de oscilação subsequente é:
$$\text{c)} \quad \frac{m v}{\sqrt{K(M+m)}}$$
💥 1. Colisão Inelástica (Conservação do Momento)
Na colisão totalmente inelástica, o projétil de massa $m$ se aloja no bloco de massa $M$. O momento linear do sistema é conservado, pois não há forças externas horizontais relevantes.
- Momento Inicial ($p_i$):
$$p_i = m v$$
- Momento Final ($p_f$): O conjunto ($M+m$) se move com velocidade $V$.
$$p_f = (M + m) V$$
Igualando os momentos, encontramos a velocidade $V$ do sistema imediatamente após a colisão:
$$m v = (M + m) V \implies V = \frac{m v}{M + m}$$
⚡ 2. MHS (Conservação da Energia)
Imediatamente após a colisão, toda a energia cinética do sistema ($E_c$) é convertida em energia potencial elástica ($E_p$) no ponto de máxima elongação, que é a amplitude ($A$) do MHS.
- Energia Cinética Máxima: $E_{c, max} = \frac{1}{2} (M + m) V^2$
- Energia Potencial Máxima (na Amplitude $A$): $E_{p, max} = \frac{1}{2} K A^2$
Aplicando a conservação de energia:
$$\frac{1}{2} (M + m) V^2 = \frac{1}{2} K A^2$$
Substituindo $V$:
$$(M + m) \left(\frac{m v}{M + m}\right)^2 = K A^2$$
$$(M + m) \frac{m^2 v^2}{(M + m)^2} = K A^2$$
$$\frac{m^2 v^2}{M + m} = K A^2$$
📐 3. Cálculo da Amplitude ($A$)
Isolando $A$ na equação acima:
$$A^2 = \frac{m^2 v^2}{K (M + m)}$$
$$A = \sqrt{\frac{m^2 v^2}{K (M + m)}}$$
A amplitude é, portanto:
$$A = \frac{m v}{\sqrt{K (M + m)}}$$
O resultado corresponde à alternativa c), confirmando o gabarito.
