Vamos resolver passo a passo 👇
1️⃣ Dados do problema
- Barra solta do repouso, extremidade inferior em ((1,1,5)) m → começa a cair verticalmente (eixo Z).
- Hélice: formada por duas hastes cruzadas nos eixos X e Y, girando com aceleração angular constante
(\alpha = 2\pi/3\ \text{rad/s}^2)
- A barra está a 1 m de distância de cada eixo (pois x=1, y=1).
- Gravidade: (g = 10\ \text{m/s}^2)
- Precisamos saber a que distância da extremidade inferior a hélice a atinge.
2️⃣ Movimento da barra (queda livre)
A extremidade inferior da barra está em (z_0 = 5) m.
O tempo de queda para atingir (z = 0):
[
z = z_0 - \frac{1}{2} g t^2
]
[
0 = 5 - 5 t^2
]
[
t = 1\ \text{s}
]
Ou seja, a extremidade inferior leva 1 s para atingir o plano XY.
3️⃣ Movimento da hélice
A hélice parte do repouso com (\alpha = 2\pi/3\ \text{rad/s}^2).
O ângulo girado após tempo (t):
[
\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2 = \frac{1}{2}\cdot\frac{2\pi}{3}t^2 = \frac{\pi t^2}{3}
]
4️⃣ Posição da hélice quando atinge a barra
A barra é atingida quando uma das hastes (sobre os eixos X ou Y) passa pela posição onde (x=1) e (y=1).
Como a hélice gira, o ponto extremo de uma haste varre o plano XY.
A interseção ocorre quando a direção da haste coincide com a direção do vetor ((1,1)), isto é, um ângulo de 45° em relação ao eixo X.
Assim:
[
\theta = 45° = \frac{\pi}{4}
]
5️⃣ Momento em que ocorre a colisão
[
\frac{\pi t^2}{3} = \frac{\pi}{4}
\Rightarrow t^2 = \frac{3}{4}
\Rightarrow t = 0{,}866\ \text{s}
]
6️⃣ Altura da extremidade inferior da barra nesse instante
[
z = 5 - \frac{1}{2} g t^2 = 5 - 5(0{,}866)^2 = 5 - 3{,}75 = 1{,}25\ \text{m}
]
✅ A hélice atinge a barra a 1,25 m acima de sua extremidade inferior.
Resposta correta: (a) 1,25 m
