Com certeza. Para resolver essa questão, vamos encontrar as raízes (soluções) de cada equação de segundo grau incompleta e verificar quais delas são apenas números naturais.
Lembrando que o conjunto dos Números Naturais ($\mathbb{N}$) é ${0, 1, 2, 3, 4, ...}$.
1. Análise da Opção A: $x^2 + 4x = 0$
Colocando $x$ em evidência:
$$x(x + 4) = 0$$
As raízes são encontradas ao igualar cada fator a zero:
- Primeira Raiz: $x = 0$
- Segunda Raiz: $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$
As raízes são ${0, -4}$. Como $-4$ não é um número natural, esta opção está incorreta.
2. Análise da Opção B: $x^2 - 5x = 0$
Colocando $x$ em evidência:
$$x(x - 5) = 0$$
As raízes são:
- Primeira Raiz: $x = 0$
- Segunda Raiz: $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$
As raízes são ${0, 5}$. Como 0 e 5 são números naturais, esta opção está correta.
3. Análise da Opção C: $2x^2 + x = 0$
Colocando $x$ em evidência:
$$x(2x + 1) = 0$$
As raízes são:
- Primeira Raiz: $x = 0$
- Segunda Raiz: $2x + 1 = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$
As raízes são $\left{0, -\frac{1}{2}\right}$. Como $-\frac{1}{2}$ não é um número natural, esta opção está incorreta.
4. Análise da Opção D: $-x^2 - 6x = 0$
Colocando $-x$ (ou $x$) em evidência:
$$-x(x + 6) = 0$$
As raízes são:
- Primeira Raiz: $-x = 0 \Rightarrow x = 0$
- Segunda Raiz: $x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$
As raízes são ${0, -6}$. Como $-6$ não é um número natural, esta opção está incorreta.
A equação que apresenta como raízes apenas números naturais é a b) $x^2 – 5x = 0$, cujas raízes são $x=0$ e $x=5$.
A alternativa correta, baseada na análise matemática, é a b).
A equação $x^2 – 5x = 0$ é a única que apresenta como raízes apenas números naturais, que são $x=0$ e $x=5$.
