Vamos resolver passo a passo com cuidado.
Passo 1: Vetores para os ângulos
Dado o triângulo (A(-4,-1)), (B(3,-2)), (C(-1,2)):
- Para o ângulo (\alpha = \angle BÂC), vértice em (A) → vetores:
[
\vec{AB} = B - A = (3 - (-4), -2 - (-1)) = (7, -1)
]
[
\vec{AC} = C - A = (-1 - (-4), 2 - (-1)) = (3, 3)
]
- Para o ângulo (\beta = \angle ABC), vértice em (B) → vetores:
[
\vec{BA} = A - B = (-4 - 3, -1 - (-2)) = (-7, 1)
]
[
\vec{BC} = C - B = (-1 - 3, 2 - (-2)) = (-4, 4)
]
Passo 2: Cálculo de (\cos) e (\sin) dos ângulos via produto escalar
(a) (\alpha = \angle BÂC)
[
\cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}||\vec{AC}|}
]
Produto escalar:
[
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 7 \cdot 3 + (-1)\cdot 3 = 21 - 3 = 18
]
Módulos:
[
|\vec{AB}| = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}
]
[
|\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}
]
[
\cos(\alpha) = \frac{18}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{18}} = \frac{18}{\sqrt{900}} = \frac{18}{30} = 0,6
]
[
\sin(\alpha) = \sqrt{1 - 0,6^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8
]
(b) (\beta = \angle ABC)
[
\cos(\beta) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}||\vec{BC}|}
]
Produto escalar:
[
\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-7)\cdot(-4) + 1\cdot 4 = 28 + 4 = 32
]
Módulos:
[
|\vec{BA}| = \sqrt{(-7)^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}
]
[
|\vec{BC}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}
]
[
\cos(\beta) = \frac{32}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{32}} = \frac{32}{\sqrt{1600}} = \frac{32}{40} = 0,8
]
[
\sin(\beta) = \sqrt{1 - 0,8^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6
]
Passo 3: Substituir na expressão
A expressão é:
[
\sin^2(\alpha) + \cos^2(\beta) + 2 \cos(\beta) \sin(\alpha)
]
Substituindo:
[
\sin^2(\alpha) = 0,8^2 = 0,64
]
[
\cos^2(\beta) = 0,8^2 = 0,64
]
[
2 \cos(\beta) \sin(\alpha) = 2 \cdot 0,8 \cdot 0,8 = 2 \cdot 0,64 = 1,28
]
Somando:
[
0,64 + 0,64 + 1,28 = 2,56
]
✅ Passo 4: Resposta
a) 2,56
