Questões comentadas Polícia Militar-SP de Matemática | 34813

Vamos resolver passo a passo.

Passo 1: Usar a divisibilidade por ( x - 2 )

Se ( P(x) ) é divisível por ( x - 2 ), então:

[ P(2) = 0 ]

O polinômio é:

[ P(x) = x^4 + x^2 + b x + c ]

Substituindo ( x = 2 ):

[ 2^4 + 2^2 + 2b + c = 0 ]

[ 16 + 4 + 2b + c = 0 ]

[ 20 + 2b + c = 0 ]

[ 2b + c = -20 \quad (1) ]

Passo 2: Usar o resto com ( x + 2 )

O resto ao dividir por ( x + 2 ) é 4, então:

[ P(-2) = 4 ]

Substituindo ( x = -2 ):

[ (-2)^4 + (-2)^2 + b(-2) + c = 4 ]

[ 16 + 4 - 2b + c = 4 ]

[ 20 - 2b + c = 4 ]

[ -2b + c = -16 \quad (2) ]

Passo 3: Resolver o sistema

Sistema:

[ \begin{cases} 2b + c = -20
-2b + c = -16 \end{cases} ]

Subtraindo a segunda da primeira:

[ (2b + c) - (-2b + c) = -20 - (-16) ]

[ 2b + c + 2b - c = -20 + 16 ]

[ 4b = -4 \quad \Rightarrow \quad b = -1 ]

Substituindo ( b = -1 ) em (1):

[ 2(-1) + c = -20 ]

[ -2 + c = -20 \quad \Rightarrow \quad c = -18 ]

✅ Passo 4: Resposta

[ \boxed{\text{b) –1 e –18}} ]

Andei pesquisando como se resolvia a questão e achei isso no site https://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20130808151102AAS3nQ6

Acho que ajuda a entender

Teorema D'Alambert

Todo polinômio P(x) quando dividido por um binômio do tipo x – a, resultará em uma divisão exata, ou seja, terá resto igual a zero se, e somente se, a constante a for raiz do polinômio P(x).

P divisível por h : P(2) = 0 => 2^4 +2² +2b+ c = 0 ...(i)

Teorema do resto : o resto da divisão de P(x) por x – a é igual a P(a) .

Consequência : Se P(a) = 0 , então R = 0 ( resto ) e portanto , P(x) é divisível por x – a .
Essa afirmação é conhecida como teorema de D’Alembert

o resto da divisão de P por g é 4 : P(-2) = (-2)^4 +(-2)² -2b + c = 4 ..(ii)
de (ii) - (i) : -4b = 4 => b = -1
substituindo em (i) 2^4 +2² -2 +c = 0 resulta c = -18