Vamos resolver passo a passo.
Passo 1: Usar a divisibilidade por ( x - 2 )
Se ( P(x) ) é divisível por ( x - 2 ), então:
[
P(2) = 0
]
O polinômio é:
[
P(x) = x^4 + x^2 + b x + c
]
Substituindo ( x = 2 ):
[
2^4 + 2^2 + 2b + c = 0
]
[
16 + 4 + 2b + c = 0
]
[
20 + 2b + c = 0
]
[
2b + c = -20 \quad (1)
]
Passo 2: Usar o resto com ( x + 2 )
O resto ao dividir por ( x + 2 ) é 4, então:
[
P(-2) = 4
]
Substituindo ( x = -2 ):
[
(-2)^4 + (-2)^2 + b(-2) + c = 4
]
[
16 + 4 - 2b + c = 4
]
[
20 - 2b + c = 4
]
[
-2b + c = -16 \quad (2)
]
Passo 3: Resolver o sistema
Sistema:
[
\begin{cases}
2b + c = -20
-2b + c = -16
\end{cases}
]
Subtraindo a segunda da primeira:
[
(2b + c) - (-2b + c) = -20 - (-16)
]
[
2b + c + 2b - c = -20 + 16
]
[
4b = -4 \quad \Rightarrow \quad b = -1
]
Substituindo ( b = -1 ) em (1):
[
2(-1) + c = -20
]
[
-2 + c = -20 \quad \Rightarrow \quad c = -18
]
✅ Passo 4: Resposta
[
\boxed{\text{b) –1 e –18}}
]
