A alternativa correta é a d) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de $7/2$.
O dono do posto deseja encomendar um tanque com menor custo por metro cúbico de capacidade de armazenamento. Como o preço é diretamente proporcional à área da superfície lateral, isso significa que ele busca o tanque com a menor relação Área Lateral / Volume ($\frac{A_L}{V}$).
📐 Fórmulas e Relações
Para um cilindro, as fórmulas são:
- Área Lateral ($A_L$): $2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$
- Volume ($V$): $\pi \cdot r^2 \cdot h$
- Relação ($\frac{A_L}{V}$):
$$
\frac{A_L}{V} = \frac{2 \cdot \pi \cdot r \cdot h}{\pi \cdot r^2 \cdot h} = \frac{2}{r}
$$
A relação entre a Área Lateral e o Volume é inversamente proporcional ao raio ($r$). Para que o custo/capacidade seja o menor possível, a relação $\frac{A_L}{V}$ deve ser a menor possível.
$$\text{Custo/Capacidade } \propto \frac{A_L}{V} = \frac{2}{r}$$
Para minimizar a relação $\frac{2}{r}$, devemos maximizar o raio ($r$).
🛢️ Análise dos Tanques
Analisando os três tanques:
| Tanque | Diâmetro ($2r$) | Raio ($r$) | Altura ($h$) | Relação $\frac{A_L}{V} = \frac{2}{r}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| I | 4 m | 2 m | 6 m | $\frac{2}{2} = 1$ |
| II | 6 m | 3 m | 6 m | $\frac{2}{3} \approx 0,67$ |
| III | 8 m | 4 m | 6 m | $\frac{2}{4} = \mathbf{0,5}$ |
O tanque III possui o maior raio ($r = 4 \text{ m}$), resultando na menor relação $\frac{A_L}{V} = 0,5$.
4. Verificação da Relação na Alternativa D
A alternativa d) afirma que o tanque III é a escolha correta, com uma relação área/capacidade de $7/2$.
- Relação Calculada: $\frac{A_L}{V} = \frac{2}{r} = \frac{2}{4} = \mathbf{0,5}$ ou $\mathbf{1/2}$.
Existe um erro na alternativa D: o valor da relação apresentado ($7/2$) não corresponde ao valor correto ($1/2$). No entanto, o tanque III é inequivocamente o de menor custo/capacidade devido ao seu maior raio.
Assumindo que o examinador cometeu um erro de digitação no valor e que a intenção era identificar o tanque de maior raio/menor custo:
- O tanque correto é o III.
- A menor relação $\frac{A_L}{V}$ é $\mathbf{1/2}$.
Como III é o único tanque com maior raio e, consequentemente, menor custo por capacidade, a opção d) deve ser marcada, ignorando-se o erro de valor. A alternativa d) deve ter sido digitada incorretamente, onde $7/2$ deveria ser $1/2$.
A opção correta é III, pela menor relação área/capacidade.
